Loi de probabilité

Définition

Soit \(n\) un entier naturel non nul. On considère une expérience aléatoire comportant un nombre fini \(n\) d'issues. On note \(\Omega\) l'univers : c'est l'ensemble des \(n\) issues de cette expérience aléatoire. On appelle \(\omega_1 , \omega_2, ... , \omega_n\) les \(n\) éléments de \(\Omega\). Ainsi, on a : \(\Omega=\{\omega_1 , \omega_2 , ... , \omega_n\}\).

Choisir un modèle de probabilité pour cette expérience aléatoire, c'est associer à chaque issue un nombre compris entre 0 et 1, de sorte que la somme des probabilités de toutes les issues soit égale à 1. Autrement dit : c'est associer, pour tout `i` entier naturel compris entre `1` et `n`, à chaque issue \(\omega_i\), un nombre \(p_i\) de l'intervalle \([0;1]\) tel que  \(p_1+p_2+...+p_n =1\).

Exemple

On lance deux fois de suite une pièce truquée (on dit aussi une pièce non équilibrée). La loi de probabilité de cette expérience aléatoire se présente dans le tableau suivant.
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline\text{Issues}&(\text{Face};\text{Face})& (\text{Face};\text{Pile})&(\text{Pile};\text{Face})&(\text{Pile};\text{Pile})\\\hline\text{Probabilités}&\dfrac{4}{9}&\dfrac{2}{9}&\dfrac{2}{9}&\dfrac{1}{9}\\\hline\end{array}\)

Dans la première ligne du tableau sont listées toutes les issues qui sont \((\text{Face};\text{Face})\), \((\text{Face};\text{Pile})\), \((\text{Pile};\text{Face})\) et \((\text{Pile};\text{Pile})\) puis, dans la seconde ligne est notée la probabilité de chacune des issues.
Par exemple, \(P((\text{Face};\text{Face}))=\dfrac{4}{9}\).
On a bien  \(\dfrac{4}{9}+\dfrac{2}{9}+\dfrac{2}{9}+\dfrac{1}{9}=\dfrac{4+2+2+1}{9}=\dfrac{9}{9}=1\).

Définition

On considère une expérience aléatoire comportant un nombre fini d'issues. Choisir un modèle de probabilité pour cette expérience aléatoire, c'est définir une loi (ou distribution) de probabilité,  c'est-à-dire créer une fonction dont l'ensemble de départ est `\Omega` et l'ensemble d'arrivée est `\[0;1]`telle que la somme des probabilités des issues est égale à \(1\).

Exemple

On reprend l'exemple précédent. L'univers \(\Omega\) est constitué de \(4\) issues. À chacune de ces issues est associée une valeur numérique qui est la valeur de la probabilité de l'issue. La fonction est celle qui :

• à l'issue \((\text{Face};\text{Face})\) associe la valeur \(\dfrac{4}{9}\) ;
  
• à l'issue \((\text{Face};\text{Pile})\) associe la valeur \(\dfrac{2}{9}\) ;
• à l'issue \((\text{Pile};\text{Face})\) associe la valeur \(\dfrac{2}{9}\) ;
  
• à l'issue \((\text{Pile};\text{Pile})\) associe la valeur \(\dfrac{1}{9}\).
  

Remarque

Une loi de probabilité ne se démontre pas. Elle résulte du modèle de probabilité choisi pour l'expérience aléatoire étudiée.